Questões sobre distância entre pontos no plano cartesiano

Os pontos E e F pertencem aos lados do triângulo de vértices A(7, 8), B(7, 2) e C(15, 6). A reta EF é perpendicular ao lado AB, conforme mostra a figura.

Num triângulo PQR, sendo P = (6,4), Q = (0,4) e R um ponto pertencente ao eixo OX com PR = QR.

Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices O, A, B em que O é a origem do sistema de coordenadas e A é um ponto sobre o eixo x. Os vértices A e B estão na reta r, de equação 2x + y = 6, e os lados OA e OB têm mesma medida, como mostra a figura.

O método matemático a seguir é utilizado no cálculo por trilateração.

P = (u_x, u_y):
(u_x – x₁)² + (u_y – y₁)² = r₁², sendo M₁ (x₁, y₁)
(u_x – x₂)² + (u_y – y₂)² = r₂², sendo M₂ (x₂, y₂)
(u_x – x₃)² + (u_y – y₃)² = r₃², sendo M₃ (x₃, y₃)

Sabendo que o ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4).

A figura indica três quadrados, sendo conhecidas as áreas de dois deles. Cada quadrado possui um vértice sobre a reta r e dois sobre a reta s.

Uma empresa de telefonia pretende instalar uma antena que se localize a igual distância de três cidades do interior do estado do RS, representadas pelos pontos A, B e C. Para obter essa localização, reproduziu o mapa em um sistema de referências cartesianas, conforme a figura seguir.

A casa de uma pessoa M fica no cruzamento de duas ruas perpendiculares representadas na figura pelos eixos coordenados Ox e Oy. Para se encontrar com um colega em Q, ao invés de andar ao longo dos caminhos retilíneos OP e PQ, a pessoa M toma um atalho, ao longo da diagonal OQ, reduzindo a distância percorrida em um terço da distância de P a Q.